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Der `!Hamiltonoperator`! H ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {H}}} (auch `!Hamiltonian`!) ist in der `F33f`_`[Quantenmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenmechanik]`_`f ein `F33f`_`[Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Operator_(Mathematik)]`_`f, der (mögliche) `F33f`_`[Energie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Energie]`_`fmesswerte und die `F33f`_`[Zeitentwicklung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitentwicklung]`_`f angibt. Er ist daher der `!Energieoperator`!. Er liefert beispielsweise die `F33f`_`[Energieniveaus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Energieniveau]`_`f des `F33f`_`[Elektrons`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektron]`_`f im `F33f`_`[Wasserstoffatom`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wasserstoffatom]`_`f. Er ist nach `F33f`_`[William Rowan Hamilton`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=William_Rowan_Hamilton]`_`f benannt. Auf ihn geht die `F33f`_`[hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hamiltonsche_Mechanik]`_`f zurück, in der die `F33f`_`[Hamilton-Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hamilton-Funktion]`_`f die Zeitentwicklung und die Energie bestimmt.

>>Contents

• `F0af`_`[Zeitentwicklung und Energie`#zeitentwicklung-und-energie]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Quantenmechanisches Teilchen im Potential`#quantenmechanisches-teilchen-im-potential]`_`f

• `F0af`_`[Eindimensionaler harmonischer Oszillator`#eindimensionaler-harmonischer-oszillator]`_`f

• `F0af`_`[Spin im Magnetfeld`#spin-im-magnetfeld]`_`f

• `F0af`_`[Geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld`#geladenes-spinloses-teilchen-im-elektromagnetischen-feld]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

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>>Zeitentwicklung und Energie

In der Quantenmechanik wird jeder `F33f`_`[Zustand`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zustand_(Quantenmechanik)]`_`f des betrachteten physikalischen Systems durch einen zugehörigen `F33f`_`[Vektor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektor]`_`f ψ ψ {\\displaystyle \\psi } im `F33f`_`[Hilbertraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hilbertraum]`_`f angegeben. Seine Zeitentwicklung wird nach der `F33f`_`[Schrödingergleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schrödingergleichung]`_`f durch den Hamiltonoperator H ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {H}}} bestimmt:

i ℏ ℏ ∂ ∂ ∂ ∂ t ψ ψ ( t ) = H ^ ^ ψ ψ ( t ) {\\displaystyle \\mathrm {i} \\,\\hbar {\\partial \\over \\partial t}\\,\\psi (t)={\\hat {H}}\\,\\psi (t)}

mit

• der `F33f`_`[imaginären Einheit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Imaginäre_Einheit]`_`f i {\\displaystyle \\mathrm {i} }

• der `F33f`_`[reduzierten Planck-Konstante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reduzierte_Planck-Konstante]`_`f ℏ ℏ = h 2 π π . {\\displaystyle \\hbar ={\\frac {h}{2\\pi }}.}

Man erhält den Hamiltonoperator in vielen Fällen aus der `F33f`_`[Hamiltonfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hamiltonfunktion]`_`f H ( t , x , p ) {\\displaystyle {\\mathcal {H}}(t,x,p)} des entsprechenden klassischen Systems (mit der `F33f`_`[generalisierten Koordinate`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Generalisierte_Koordinate]`_`f x und dem `F33f`_`[kanonischen Impuls`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kanonischer_Impuls]`_`f p) durch `F33f`_`[kanonische Quantisierung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Erste_Quantisierung]`_`f. Dazu wird der algebraische Ausdruck für die Hamilton-Funktion als Funktion von Operatoren gelesen (`F33f`_`[Ortsoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ortsoperator]`_`f x ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {x}}} und `F33f`_`[Impulsoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Impulsoperator]`_`f p ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {p}}} ), die den `F33f`_`[kanonischen Vertauschungsrelationen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kanonische_Vertauschungsrelationen]`_`f genügen.

Dies ist allerdings nicht eindeutig, da die Funktion x p − − p x {\\displaystyle x\\,p-p\\,x} den Wert 0 {\\displaystyle 0} hat, die Operatorfunktion x ^ ^ p ^ ^ − − p ^ ^ x ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {x}}\\,{\\hat {p}}-{\\hat {p}}\\,{\\hat {x}}} aber den Wert i ℏ ℏ . {\\displaystyle \\mathrm {i} \\hbar .} Zudem ist x p {\\displaystyle x\\,p} `F33f`_`[reell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reell]`_`f, aber x ^ ^ p ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {x}}\\,{\\hat {p}}} ist `F33f`_`[hermitesch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hermitescher_Operator]`_`f. Außerdem gibt es quantenmechanische Größen wie den `F33f`_`[Spin`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin]`_`f, die in der `F33f`_`[klassischen Physik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Klassische_Physik]`_`f nicht auftreten. Wie sie sich auf die Zeitentwicklung auswirken, folgt nicht aus Analogien mit der klassischen Physik, sondern muss aus den physikalischen Befunden erschlossen werden.

Die `F33f`_`[Eigenwertgleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eigenwertgleichung]`_`f

H ^ ^ φ φ E = E φ φ E {\\displaystyle {\\hat {H}}\\,\\varphi _{E}=E\\,\\varphi _{E}}

bestimmt die `F33f`_`[Eigenvektoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eigenvektor]`_`f φ φ E {\\displaystyle \\varphi _{E}} des Hamiltonoperators; sie sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator `F33f`_`[stationär`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stationärer_Zustand_(Quantenmechanik)]`_`f, d. h. in jeder beobachtbaren Eigenschaft zeitunabhängig. Die Eigenwerte E {\\displaystyle E} sind die zugehörigen Energien.

Da der Hamiltonoperator hermitesch (genauer `F33f`_`[wesentlich selbstadjungiert`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wesentlich_selbstadjungierter_Operator]`_`f) ist, besagt der `F33f`_`[Spektralsatz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spektralsatz]`_`f, dass die Energien reell sind und dass die Eigenvektoren eine `F33f`_`[Orthonormalbasis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orthonormalbasis]`_`f des Hilbertraums bilden. Je nach System kann das Energiespektrum `F33f`_`[diskret`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Diskret]`_`f oder kontinuierlich sein. Manche Systeme, z. B. das Wasserstoffatom oder ein `F33f`_`[Teilchen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilchen]`_`f im `F33f`_`[Potentialtopf`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Potentialtopf]`_`f, haben ein nach unten `F33f`_`[beschränktes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Beschränkt]`_`f, diskretes Spektrum und darüber ein `F33f`_`[Kontinuum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kontinuum_(Physik)]`_`f möglicher Energien.

Der Hamiltonoperator erzeugt die unitäre `F33f`_`[Zeitentwicklung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitentwicklungsoperator]`_`f. Falls für alle Zeiten τ τ {\\displaystyle \\tau } und τ τ ′ {\\displaystyle \\tau '} zwischen t 0 {\\displaystyle t_{0}} und t {\\displaystyle t} der Hamiltonoperator H ( τ τ ) {\\displaystyle H(\\tau )} mit H ( τ τ ′ ) {\\displaystyle H(\\tau ')} `F33f`_`[kommutiert`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kommutativgesetz]`_`f, so bewirkt

U ^ ^ ( t , t 0 ) = exp ⁡ ⁡ ( − − i ℏ ℏ ∫ ∫ t 0 t H ^ ^ ( τ τ ) d τ τ ) {\\displaystyle {\\hat {U}}(t,t_{0})=\\exp \\left(-{\\frac {\\mathrm {i} }{\\hbar }}\\int _{t_{0}}^{t}{\\hat {H}}(\\tau )\\,\\mathrm {d} \\tau \\right)}

die `F33f`_`[unitäre Abbildung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unitärer_Operator]`_`f jedes anfänglichen Zustandes ψ ψ ( t 0 ) {\\displaystyle \\psi (t_{0})} auf den zugehörigen Zustand ψ ψ ( t ) = U ( t , t 0 ) ψ ψ ( t 0 ) {\\displaystyle \\psi (t)=U(t,t_{0})\\,\\psi (t_{0})} zur Zeit t . {\\displaystyle t.}

Falls der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt ( H ^ ^ ≠ ≠ f ( t ) {\\displaystyle {\\hat {H}}\\neq f(t)} ), vereinfacht sich dies zu

U ^ ^ ( t , t 0 ) = exp ⁡ ⁡ ( − − i ℏ ℏ H ^ ^ ( t − − t 0 ) ) . {\\displaystyle {\\hat {U}}(t,t_{0})=\\exp \\left(-{\\frac {\\mathrm {i} }{\\hbar }}{\\hat {H}}(t-t_{0})\\right).}

Operatoren, die mit H ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {H}}} `F33f`_`[vertauschen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vertauschungsoperator]`_`f, sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator `F33f`_`[Erhaltungsgrößen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Erhaltungsgröße]`_`f des Systems, insbesondere die Energie.

Für die Energie gilt auch eine `F33f`_`[Energie-Zeit-Unschärferelation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Energie-Zeit-Unschärferelation]`_`f, nur muss man in der Quantenmechanik bei deren Ableitung anders vorgehen als zum Beispiel bei der Ort-Impuls-`F33f`_`[Unschärferelation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unschärferelation]`_`f.

>>Beispiele

>>>Quantenmechanisches Teilchen im Potential

Aus der Hamiltonfunktion

H ( x , p ) = p 2 2 m + V ( x ) {\\displaystyle {\\mathcal {H}}\\left({\\mathbf {x} },{\\mathbf {p} }\\right)={\\frac {{\\mathbf {p} }^{2}}{2\\,m}}+V({\\mathbf {x} })}

für ein nicht`F33f`_`[relativistisches`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Relativistisch]`_`f, klassisches Teilchen der Masse m {\\displaystyle m} , das sich im `F33f`_`[Potential`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Potential_(Physik)]`_`f V ( x ) {\\displaystyle V(\\mathbf {x} )} bewegt, kann ein Hamiltonoperator abgelesen werden. Dazu werden die Ausdrücke für den Impuls und das Potential durch die entsprechenden Operatoren ersetzt:

H ^ ^ ( x ^ ^ , p ^ ^ ) = p ^ ^ 2 2 m + V ( x ^ ^ ) . {\\displaystyle {\\hat {H}}({\\hat {\\mathbf {x} }},{\\hat {\\mathbf {p} }})={\\frac {{\\hat {\\mathbf {p} }}^{2}}{2\\,m}}+V({\\hat {\\mathbf {x} }}).}

In der `F33f`_`[Ortsdarstellung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ortsdarstellung]`_`f wirkt der Impulsoperator p ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {\\mathbf {p} }}} als Ableitung − − i ℏ ℏ ∂ ∂ ∂ ∂ x {\\displaystyle -\\mathrm {i} \\hbar {\\tfrac {\\partial }{\\partial \\mathbf {x} }}} und der Operator V ( x ^ ^ ) {\\displaystyle V({\\hat {\\mathbf {x} }})} als Multiplikation mit der Funktion V ( x ) . {\\displaystyle V(\\mathbf {x} ).} Die Anwendung dieses Hamiltonoperators eines Punktteilchens der Masse m {\\displaystyle m} im Potential V ( x ) {\\displaystyle V(\\mathbf {x} )} auf die Orts`F33f`_`[wellenfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wellenfunktion]`_`f Ψ Ψ {\\displaystyle \\Psi } des Teilchens wirkt sich demnach aus durch

⇒ ⇒ H ^ ^ Ψ Ψ ( x ) = ( − − ℏ ℏ 2 2 m Δ Δ + V ( x ) ) Ψ Ψ ( x ) . {\\displaystyle \\Rightarrow {\\hat {H}}\\Psi (\\mathbf {x} )={\\Bigl (}-{\\frac {\\hbar ^{2}}{2\\,m}}\\Delta +V(\\mathbf {x} ){\\Bigr )}\\Psi (\\mathbf {x} ).}

Hierbei ist Δ Δ = ∂ ∂ 2 ∂ ∂ x 2 + ∂ ∂ 2 ∂ ∂ y 2 + ∂ ∂ 2 ∂ ∂ z 2 {\\displaystyle \\Delta ={\\tfrac {\\partial ^{2}}{\\partial x^{2}}}+{\\tfrac {\\partial ^{2}}{\\partial y^{2}}}+{\\tfrac {\\partial ^{2}}{\\partial z^{2}}}} der `F33f`_`[Laplace-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Laplace-Operator]`_`f.

Die Schrödingergleichung lautet somit

i ℏ ℏ ∂ ∂ ∂ ∂ t Ψ Ψ ( t , x ) = − − ℏ ℏ 2 2 m Δ Δ Ψ Ψ ( t , x ) + V ( x ) ⋅ ⋅ Ψ Ψ ( t , x ) . {\\displaystyle \\mathrm {i} \\,\\hbar \\,{\\frac {\\partial }{\\partial t}}\\Psi (t,\\mathbf {x} )=-{\\frac {\\hbar ^{2}}{2\\,m}}\\Delta \\Psi (t,\\mathbf {x} )+V(\\mathbf {x} )\\cdot \\Psi (t,\\mathbf {x} ).}

Diese Schrödingergleichung einer Punktmasse im Potential ist die Grundlage zur Erklärung des `F33f`_`[Tunneleffekts`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tunneleffekt]`_`f. Sie liefert bei Einsetzen des `F33f`_`[Coulombpotentials`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Coulombpotential]`_`f (als Potential für die Wechselwirkung zwischen einem Elektron und einem `F33f`_`[Proton`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Proton]`_`f) die `F33f`_`[Spektrallinien`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spektrallinie]`_`f des `F33f`_`[Wasserstoff`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wasserstoff]`_`f-`F33f`_`[Atoms`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Atom]`_`f. Durch Einsetzen entsprechender Potentiale können auch die Spektrallinien anderer leichter Atome berechnet werden.

>>>Eindimensionaler harmonischer Oszillator

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Hauptartikel

:

Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)

Analog erhält man für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator, der sich nur längs einer Linie bewegen kann, den Hamiltonoperator

H ^ ^ = − − ℏ ℏ 2 2 m ∂ ∂ 2 ∂ ∂ x 2 + 1 2 m ω ω 2 x 2 . {\\displaystyle {\\hat {H}}=-{\\frac {\\hbar ^{2}}{2m}}{\\frac {\\partial ^{2}}{\\partial x^{2}}}+{\\frac {1}{2}}m\\,\\omega ^{2}\\,x^{2}.}

Die Energien lassen sich algebraisch bestimmen. Man erhält

E n = E 0 + n ℏ ℏ ω ω , n ∈ ∈ { 0 , 1 , 2 , … … } . {\\displaystyle E_{n}=E_{0}+n\\,\\hbar \\omega ,\\quad n\\in \\{0,1,2,\\dots \\}.}

Es handelt sich dabei um dieselben Energien wie die eines `F33f`_`[Grundzustandes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Grundzustand]`_`f mit Energie E 0 {\\displaystyle E_{0}} , dem n {\\displaystyle n} -fach ein `F33f`_`[Quant`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quant]`_`f der Energie ℏ ℏ ω ω {\\displaystyle \\hbar \\,\\omega } hinzugefügt wurde.

>>>Spin im Magnetfeld

Zum Spin S {\\displaystyle \\mathbf {S} } eines Elektrons, das an ein Atom gebunden ist und sich in einem `F33f`_`[ungepaarten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Multiplizität]`_`f Zustand (allein in der `F33f`_`[Elektronenwolke`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektronenwolke]`_`f) im `F33f`_`[Magnetfeld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Magnetfeld]`_`f B {\\displaystyle \\mathbf {B} } befindet, gehört der Hamiltonoperator

H ^ ^ = − − γ γ S ⋅ ⋅ B . {\\displaystyle {\\hat {H}}=-\\gamma \\mathbf {S} \\cdot \\mathbf {B} .}

Dabei ist

• γ γ {\\displaystyle \\gamma } das `F33f`_`[gyromagnetische Verhältnis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gyromagnetisches_Verhältnis]`_`f des Elektrons

• S {\\displaystyle \\mathbf {S} } der `F33f`_`[Spinoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin]`_`f.

Da der Spin in Richtung des Magnetfeldes nur die Eigenwerte ℏ ℏ / 2 {\\displaystyle \\hbar /2} oder − − ℏ ℏ / 2 {\\displaystyle -\\hbar /2} annehmen kann (`F33f`_`[Spinpolarisation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spinpolarisation]`_`f), sind die möglichen Energien ± ± γ γ 2 | B | {\\displaystyle \\pm {\\frac {\\gamma }{2}}\\,|\\mathbf {B} |} . Im inhomogenen Magnetfeld des `F33f`_`[Stern-Gerlach-Versuchs`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stern-Gerlach-Versuch]`_`f spaltet daher ein `F33f`_`[Teilchenstrahl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilchenstrahl]`_`f aus Silberatomen in zwei Teilstrahlen auf.

>>>Geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld

Den Hamiltonoperator eines Teilchen mit `F33f`_`[Ladung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektrische_Ladung]`_`f q {\\displaystyle q} in einem äußeren `F33f`_`[elektromagnetischen Feld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektromagnetische_Wechselwirkung]`_`f erhält man durch `F33f`_`[minimale Substitution`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Minimale_Kopplung]`_`f

H ^ ^ = 1 2 m ( p ^ ^ − − q A ( t , x ^ ^ ) ) 2 + q φ φ ( t , x ^ ^ ) . {\\displaystyle {\\hat {H}}={\\frac {1}{2m}}{\\bigl (}{\\hat {\\mathbf {p} }}-q\\mathbf {A} (t,{\\hat {\\mathbf {x} }}){\\bigr )}^{2}+q\\,\\varphi (t,{\\hat {\\mathbf {x} }}).}

Hier bezeichnet

• A ( t , x ^ ^ ) {\\displaystyle \\mathbf {A} (t,{\\hat {\\mathbf {x} }})} das `F33f`_`[Vektorpotential`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Magnetisches_Vektorpotential]`_`f

• φ φ ( t , x ^ ^ ) {\\displaystyle \\varphi (t,{\\hat {\\mathbf {x} }})} das `F33f`_`[Skalarpotential`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektrisches_Potential]`_`f.

Beim Ausmultiplizieren der Klammer ist zu beachten, dass p ^ ^ {\\displaystyle {\\hat {\\bf {p}}}} und A ( x ^ ^ ) {\\displaystyle {\\bf {A}}({\\hat {\\bf {x}}})} wegen der Ortsabhängigkeit von A {\\displaystyle {\\bf {A}}} im Allgemeinen nicht kommutieren. Dies ist nur in der `F33f`_`[Coulomb-Eichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Coulomb-Eichung]`_`f der Fall.

>>Literatur

• Peter Rennert, Angelika Chassé und Wolfram Hergert: `*Einführung in die Quantenphysik.`* `*Experimentelle und theoretische Grundlagen mit Aufgaben, Lösungen und Mathematica-Notebooks.`* Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00769-0.

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